Защита диссертации Тайшиевой Айгуль Галимжановны на соискание степени доктора философии (PhD) по образовательной программе «8D06105 - Математическое и компьютерное моделирование»
В Евразийском национальном университете имени Л.Н. Гумилева состоится защита диссертации на соискание степени доктора философии (PhD) Тайшиевой Айгуль Галимжановны на тему «О некоторых нелинейных физических моделях с целыми и дробными производными» по образовательной программе «8D06105 – Математическое и компьютерное моделирование».
Диссертация выполнена на кафедре «Математического и компьютерного моделирования» Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева.
Язык защиты - казахский.
Официальные рецензенты:
Кангужин Балтабек Есматович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математика» Казахского национального университета имени аль-Фараби (г. Алматы, Республика Казахстан);
Рамазанов Мұрат Ибраевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Математический анализ и дифференциальные уравнения» Карагандинского университета им. Е.А. Букетова (г. Караганда, Республика Казахстан).
Временные члены Диссертационного совета:
Дженалиев Мувашархан Танабаевич – доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики и математического моделирования (г. Алматы, Республика Казахстан);
Шакенов Канат Кожахметович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Вычислительные науки и статистика» Казахского национального университета имени аль-Фараби (г. Алматы, Республика Казахстан);
Сакабеков Аужан – доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика и моделирование» Казахского национального технического университета имени (г. Алматы, Республика Казахстан);
Султанов Мурат Абдукадырович – кандидат физико-математических наук, профессор кафедры «Математика» Международного казахско-турецкого университета имени Ходжа Ахмед (г. Туркестан, Республика Казахстан).
Научные консультанты:
Нугманова Гулгасыл Нукербаевна – кандидат физико-математических наук, ассоциированный профессор кафедры «Математическое и компьютерное моделирование» ЕНУ им. Л.Н. Гумилева (г. Астана, Республика Казахстан);
Вальчев Тихомир – PhD, профессор института математики и информатики Болгарской академии наук (г. София, Республика Болгария).
Защита состоится: 28 августа 2024 года 14:00 часов в Диссертационном совете по направлению подготовки кадров «8D061 – Информационно-коммуникационные технологии» по образовательной программе «8D06105 – Математическое и компьютерное моделирование» Евразийского национального университета имени Л.Н. Гумилева. Проведение заседания диссертационного совета в смешанном (оффлайн и онлайн) формате.
Ссылка: http://surl.li/iumigy
Адрес: г. Астана, ул. Кажымукана, 13, аудитория №205 учебного корпуса №3.
Аннотация (рус.): ТАЙШИЕВА АЙГУЛЬ ГАЛИМЖАНОВНА «О некоторых нелинейных физических моделях с целыми и дробными производными» диссертация на соискание степени доктора философии (PhD) по образовательной программе «8D06105 – Математическое и компьютерное моделирование». Актуальность темы исследования: решение дифференциальных уравнений с частными производными является одним из важнейших математических средств описания физических явлений в различных научных областях. Однако, исследования, проведенные с использованием классической производной модели, не могут показать поведение распространения конца упорядоченных длинных волн. Поэтому в научных трудах ученых доказывается, что использование операторов дробной производной в современных научных исследованиях для решения таких задач приводит к значимым результатам. Тот факт, что интерес к объектам, описываемым дифференциальными уравнениями дробного порядка, на сегодняшний день не уменьшается, а наоборот возрастает, обусловлен, прежде всего, их многочисленными приложениями в различных областях физики и математики. При моделировании динамических процессов дробной или фрактальной природы часто требуется решение не прямой, а обратной задачи, т. е. найти исходную функцию, в которой в данной модели используется производная дробного порядка. Новые возможности появляются в математической и теоретической физике, когда порядок α дифференциального оператора D_x^α или интегрального оператора I_x^α становится произвольным параметром. Кроме того, большинство известных свойств дифференцирования целочисленного порядка D_x^n не удовлетворяют операторам дробного дифференцирования D_x^α. Например, правило дифференцирования целочисленного порядка, правило дифференцирования комплексной функции и свойства, очевидные для производной D_x первого порядка, не выполняются для операторов D_x^α, 0<α<1. Однако эти правила и свойства имеют аналоги и определяются очень сложными отношениями. В последние годы изучение аналитических и численных решений дробных производных математических моделей, отражающих известные явления, стало актуальной темой в науке и технике. Цель диссертационной работы: Описание некоторых природных явлений, которые не могут быть продемонстрированы результатами исследования полученными с использованием классических производных моделей, с помощью решений нелинейных дифференциальных уравнений c производными дробного порядка. Задачи исследовательской работы: найти солитонные и солитоноподобные решения обобщенного уравнения Бюргерса с производными дробного порядка, создать их компьютерных моделей демонстрирующие поведение распространения конца упорядоченных длинных волн; найти аналитические решения обобщенного уравнения Шредингера с самосогласованным потенциалом и создать их компьютерные модели; исследовать взаимосвязь между интегрируемыми моделями, описывающие физических процессов в различных средах на примере уравнения Камассы-Холма и спиновой системы типа ферромагнетика Гейзенберга; найти решения уравнения Камассы-Холма с производными дробного порядка, иллюстрировать их компьютерные модели и провести сравнительный анализ с решениями данного уравнения и решениями, полученными в случае производной целочисленного порядка. Объекты исследования: нелинейные дифференциальные уравнения с производными целочисленного и дробного порядка, являющиеся моделями природных и физических процессов в различных средах: упорядоченное длинноволновое уравнение Бюргерса, уравнение типа Шредингера с самосогласованным потенциалом, уравнение Камассы-Холма, обобщенная модель ферромагнетика Гейзенберга. Методы исследования: при изучении нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка используются определения и свойства бета-дробной производной и М-сокращенной дробной производной. Решения нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка находятся с помощью нового метода вспомогательных уравнений и метода Кудряшова. Построение и анализ компьютерных изображений полученных решений осуществляется с помощью прикладного программного пакета Maple. Положения, выносимые на защиту: применение свойств бета-производной к решению упорядоченного длинноволнового нелинейного уравнения Бюргерса; решения упорядоченного длинноволнового уравнения Бюргерса с производной по времени, полученные с помощью нового метода вспомогательных уравнений и компьютерные модели поведения распространения конца упорядоченных длинных волн; применение свойств сокращенной М-дробной производной к решению обобщенного уравнения Шредингера с согласованным потенциалом; решения обобщенного уравнения Шредингера с согласованным потенциалом с сокращенной М-дробной производной по временно-пространственными переменными, полученные методом Кудряшова и их компьютерные модели; калибровочная и алгебро-геометрическая эквивалентности между уравнением Камассы-Холма и спиновой системой с целочисленными производными; решения уравнения Камассы-Холма с дробной производной и их компьютерные модели, сравнительный анализ между решениями уравнения Камассы-Холма с производными целого и дробного порядка и основные выводы. Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты по теме диссертационной работы могут быть использованы для углубленного изучения уравнений математической физики дробной производной. Дополненные и расширенные в данной работе методы доступны для исследования и решения других моделей математической физики. Достоверность и обоснованность результатов исследования. Достоверность и обоснованность научных результатов подтверждается публикациями в международных рецензируемых журналах, входящих в базы данных Web of Science/ Scopus, а также цитированиями зарубежными научными. Статья, опубликованная в журнале «Fractal and Fractional», содержит 17 ссылок без самоцитирования. Наукометрические показатели докторанта Тайшиевой А. Г.: H-index – 1 в базе данных Web of Science; h-index – 2 в базе данных Scopus. Апробация полученных результатов. Результаты исследования, полученные по диссертационной работе, были доложены на следующих научных конференциях: 10th International Conference on Mathematical Modeling in Physical Siences (Греция), 2021; Уфимская основная математическая школа (Россия, г.Уфа), 2019; Международная конференция «Современные проблемы математики и компьютерных наук», посвященная 10-летию кафедры математического и компьютерного моделирования (г. Астана), 2024; XVIII Международная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование – 2024» (г. Астана), 2024. Также обсуждались на научных семинарах кафедр «Математическое и компьютерное моделирование» и «Общая и теоретическая физика». Публикации по теме диссертации. В рамках исследования по теме диссертации опубликовано 6 работ: The Sensitive Visualization and Generalized Fractional Solitons’ Construction for Regularized Long-Wave Governing Model // Fractal and Fractional. – 2023. - №7. - р. 136 (ИФ 3.577, WoS CC: Q1, Scopus CS: 86). Effect of truncated M-fractional derivative on the new exact solitons to the Shynaray-IIA equation and stability analysis // Results in Physics. – 2024. - №57. - р. 107422 (ИФ 5.51, WoS CC: Q2, Scopus CS: 89). On equivalence of one spin system and two-component Camassa-Holm equation // Ufa Mathematical Journal. – 2020. – Vol. 12, №2. – P. 50-55 (ИФ 0.34, WoS CC: Q3, Scopus CS: 34). Geometric Flows of Curves, Two-Component Camassa-Holm Equation and Generalized Heisenberg Ferromagnet Equation // Journal of Physics: Conference Series. – 2021. - №2090. - р. 012068 (Scopus CS:18). Об эквивалентности одной спиновой системы и двухкомпонентного образования Камассы-Холма // Сборник тезисов международной научной конференции «Уфимская основная математическая школа» (Уфа, 2019). Бөлшек туындылы Камасса-Холм теңдеуі және оның шешімдері туралы // Международная научная конференция «Современные проблемы математики и компьютерных наук» (ЕНУ им.Л. Н. Гумилева, Астана, 2024). Структура диссертации. Диссертационная работа включает раздел определений и обозначений, введение, 4 основных глав, заключение, библиографию. Объем работы составляет 86 страниц, в том числе 16 рисунков. В первой части операторы бета-и М-сокращенной дробной производной применяются к упорядоченному длинноволновому уравнению Бюргерса. Это уравнение с дробным производным по времени первоначально преобразуется в дробное обыкновенное дифференциальное уравнение с помощью волнового преобразования. Новый подход вспомогательного уравнения был использован для поиска решений солитона. В результате на основе отношения ограничений к параметрам вспомогательного уравнения были найдены световые, периодические, комбинированные-периодические, рациональные, солитонные решения. Графические изображения полученных результатов показаны путем выбора соответствующих параметрических значений и прогнозирования того, отвечает ли параметр дробного порядка за управление поведением распространения локальных волн. Во второй части решения нелинейного уравнения Шредингера с согласованным потенциалом с сокращенным М-дробным производным находятся по методу Кудряшова, составляются их трехмерные и двухмерные компьютерные модели. В третьем разделе была установлена калибровочная и алгебро-геометрическая связь между уравнением Камассы-Холма дробного порядка и обобщенной моделью Гейзенберга, и было найдено точное решение последнего. В четвертой части получается солитонное решение уравнения Камассы-Холма с дробной производной, и создаются компьютерные изображения. Проводится сравнительный анализ решений рассматриваемого уравнения, найденных в двух случаях – целочисленного и дробного производных. Внутреннее единство диссертационной работы Результаты, полученные в рамках темы диссертационной работы, изложены по принципу «от простого к сложному» в зависимости от структуры объектов исследования. Уравнение, изученное в первой главе является обобщением классического уравнения Бюргерса. Аналогично, рассмотренные во второй, третьей и четвертой главах уравнение типа Шредингера и уравнение Камассы-Холма охватывают упорядоченное длинноволновое уравнение Бюргерса, изученное в первой главе.
Отзыв зарубежного консультанта